Как составить уравнение касательной к графику функции f(x), если эта касательная проходит через точку M, которая не принадлежит данному графику, при следующих условиях:

• f(x) = x² - 4
• M(2; -1)

Алгебра 11 класс Уравнения касательной Уравнение касательной график функции точка M f(x) = x² - 4 алгебра 11 класс Новый

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 4, которая проходит через точку M(2; -1), нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем производную функции f(x).

   Производная функции f(x) = x² - 4 равна f'(x) = 2x. Эта производная показывает наклон касательной к графику функции в любой точке x.

2. Определим точку касания.

   Пусть точка касания с графиком функции имеет координаты A(a; f(a)). Мы знаем, что f(a) = a² - 4.

3. Запишем уравнение касательной.

   Уравнение касательной к графику функции в точке A(a; f(a)) можно записать в виде:

   y - f(a) = f'(a)(x - a),

   что можно переписать как:

   y = f'(a)(x - a) + f(a).

   Подставляя значение производной, получаем:

   y = 2a(x - a) + (a² - 4).

   Это уравнение мы будем использовать далее.

4. Подставим координаты точки M в уравнение касательной.

   Так как касательная проходит через точку M(2; -1), мы подставим x = 2 и y = -1 в уравнение касательной:

   -1 = 2a(2 - a) + (a² - 4).

5. Решим полученное уравнение.

   Упростим уравнение:

   -1 = 4a - 2a² + a² - 4.

   Соберем все члены в одну сторону:

   0 = -a² + 4a - 3.

   Умножим на -1:

   0 = a² - 4a + 3.

   Теперь решим квадратное уравнение:

   Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.

   Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

   a = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   a₁ = 3 и a₂ = 1.

6. Найдем уравнения касательных.

   Теперь найдем уравнения касательных для каждого из значений a:

   • Для a = 3:

     f(3) = 3² - 4 = 5.

     f'(3) = 2 * 3 = 6.

     Уравнение касательной:

     y - 5 = 6(x - 3) => y = 6x - 18 + 5 => y = 6x - 13.

   • Для a = 1:

     f(1) = 1² - 4 = -3.

     f'(1) = 2 * 1 = 2.

     Уравнение касательной:

     y + 3 = 2(x - 1) => y = 2x - 2 - 3 => y = 2x - 5.

Таким образом, у нас есть два уравнения касательных, которые проходят через точку M(2; -1):

• y = 6x - 13
• y = 2x - 5