Как можно упростить выражение sin^4x + cos^4x?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения sin^4x cos^4x алгебра 11 класс тригонометрические функции формулы математические преобразования алгебраические выражения свойства синуса и косинуса Новый

Рассмотрим выражение sin^4x + cos^4x и попробуем его упростить. Для начала, мы можем воспользоваться известной формулой для суммы квадратов:

• Согласно формуле, мы можем записать это выражение как (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2x * cos^2x.

Давайте разберем это шаг за шагом:

1. Первый шаг: Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Подставим это значение в наше равенство:
2. (sin^2x + cos^2x)^2 = 1^2 = 1.
3. Второй шаг: Теперь мы можем переписать выражение:
4. Таким образом, sin^4x + cos^4x = 1 - 2sin^2x * cos^2x.
5. Третий шаг: Теперь давайте упростим второй член. Мы знаем, что sin^2x * cos^2x можно записать как (1/2) * sin^2(2x), используя двойную угловую формулу:
6. sin^2x * cos^2x = (1/2) * (sin(2x))^2.
7. Четвертый шаг: Подставим это обратно в наше уравнение:
8. sin^4x + cos^4x = 1 - 2 * (1/2) * (sin(2x))^2 = 1 - (sin(2x))^2.

Таким образом, мы пришли к окончательному результату:

Ответ: sin^4x + cos^4x = 1 - (1/2) * sin^2(2x).

Это выражение показывает, как можно упростить начальное выражение, используя основные тригонометрические тождества и свойства квадратов синуса и косинуса. Надеюсь, это объяснение было полезным!