Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2-4x, y=0, x=-3 и x=-1? Объясните, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь фигуры алгебра 11 класс вычисление площади графики функций ограниченные линии y=-x^2-4x y=0 x=-3 x=-1 интегралы определенный интеграл геометрия площадь под кривой методы вычисления площади Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3 и x = -1, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно:

1. Определение границ интегрирования:
   • Линия y = 0 представляет собой ось абсцисс (ось x).
   • Линии x = -3 и x = -1 задают вертикальные границы области, то есть область ограничена между этими двумя значениями x.
2. Определение функции, подлежащей интегрированию:
   • Функция y = -x^2 - 4x ограничивает фигуру сверху, а y = 0 ограничивает ее снизу.
   • Таким образом, подынтегральная функция будет равна: f(x) = -x^2 - 4x.
3. Запись определенного интеграла:
   • Площадь фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл от функции f(x) на интервале от x = -3 до x = -1.
   • Интеграл будет выглядеть следующим образом: ∫[-3, -1] (-x^2 - 4x) dx.
4. Вычисление интеграла:
   • Найдем первообразную для функции f(x) = -x^2 - 4x.
   • Первообразная будет: F(x) = - (1/3)x^3 - 2x^2 + C, где C — произвольная постоянная, которую мы можем не учитывать при вычислении определенного интеграла.
5. Подстановка пределов интегрирования и нахождение площади:
   • Подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную:
   • F(-1) = - (1/3)(-1)^3 - 2(-1)^2 = 1/3 - 2 = -5/3.
   • F(-3) = - (1/3)(-3)^3 - 2(-3)^2 = 9 - 18 = -9.
   • Теперь найдем разность: F(-1) - F(-3) = (-5/3) - (-9) = -5/3 + 9 = 22/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 22/3 квадратных единиц.