Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^3, y = 8, x = 1?

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь фигуры вычисление площади алгебра 11 класс интегралы графики функций ограниченные линии y = x^3 y = 8 x = 1 Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^3, горизонтальной линией y = 8 и вертикальной линией x = 1, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривой и горизонтальной линии.

   Для этого нужно решить уравнение:

   y = x^3 = 8

   Из этого уравнения находим x:

   • x^3 = 8
   • x = 2 (так как 2^3 = 8)

   Таким образом, кривая y = x^3 пересекает линию y = 8 в точке (2, 8).

2. Определить границы интегрирования.

   Наша область ограничена вертикальной линией x = 1 и точкой x = 2, где происходит пересечение. Таким образом, границы интегрирования будут от x = 1 до x = 2.

3. Записать интеграл для вычисления площади.

   Площадь фигуры, ограниченной кривой и линиями, можно найти с помощью определенного интеграла:

   P = ∫(от 1 до 2) (y верх - y низ) dx

   В нашем случае y верх = 8, а y низ = x^3. Таким образом, интеграл будет выглядеть так:

   P = ∫(от 1 до 2) (8 - x^3) dx

4. Вычислить интеграл.

   Теперь вычислим интеграл:

   P = ∫(от 1 до 2) (8 - x^3) dx = ∫(от 1 до 2) 8 dx - ∫(от 1 до 2) x^3 dx

   Сначала вычислим первый интеграл:

   • ∫(от 1 до 2) 8 dx = 8x | от 1 до 2 = 8*2 - 8*1 = 16 - 8 = 8

   Теперь второй интеграл:

   • ∫(от 1 до 2) x^3 dx = (1/4)x^4 | от 1 до 2 = (1/4)(2^4) - (1/4)(1^4) = (1/4)(16) - (1/4)(1) = 4 - 0.25 = 3.75

   Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:

   P = 8 - 3.75 = 4.25

5. Записать окончательный ответ.

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 8 и x = 1, равна 4.25.