Как найти площадь области, заключенной между графиками функций y=x², y=x+2 и осью y (y=0)?

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь области графики функций y=x² y=x+2 ось Y y=0 алгебра 11 класс решение задачи интегралы пересечение графиков Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций y = x², y = x + 2 и осью y (y = 0), следуйте следующим шагам:

1. Найдите точки пересечения графиков:
   • Для этого приравняем функции y = x² и y = x + 2:
   • x² = x + 2
   • Перепишем уравнение: x² - x - 2 = 0.
   • Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   • D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
   • Теперь найдем корни уравнения по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.
   • Подставим значения: x = (1 ± 3) / 2.
   • Таким образом, получаем два корня: x₁ = 2 и x₂ = -1.
2. Найдите область интегрирования:
   • Область, заключенная между графиками, будет находиться между x = -1 и x = 2.
3. Определите, какая функция выше:
   • Для этого можно взять любое значение x из интервала (-1, 2). Например, для x = 0:
   • y = 0² = 0 (для y = x²) и y = 0 + 2 = 2 (для y = x + 2).
   • Таким образом, y = x + 2 выше, чем y = x² в этом интервале.
4. Запишите интеграл для нахождения площади:
   • Площадь области можно найти по формуле:
   • Площадь = ∫ от -1 до 2 ( (x + 2) - (x²) ) dx.
5. Вычислите интеграл:
   • Сначала упростим выражение под интегралом:
   • (x + 2) - x² = -x² + x + 2.
   • Теперь найдем неопределенный интеграл:
   • ∫ (-x² + x + 2) dx = (-1/3)x³ + (1/2)x² + 2x + C.
6. Подставьте пределы интегрирования:
   • Теперь находим определенный интеграл от -1 до 2:
   • F(2) = (-1/3)(2)³ + (1/2)(2)² + 2(2) = (-8/3) + 2 + 4 = (-8/3) + (6/3) + (12/3) = 10/3.
   • F(-1) = (-1/3)(-1)³ + (1/2)(-1)² + 2(-1) = (1/3) + (1/2) - 2 = (1/3) + (3/6) - (12/6) = -7/6.
   • Теперь найдем площадь: Площадь = F(2) - F(-1) = (10/3) - (-7/6).
   • Приведем к общему знаменателю: (20/6) + (7/6) = 27/6 = 9/2.

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций y = x², y = x + 2 и осью y, равна 9/2.