Давайте разберемся, как вычислить производные для заданных функций, а затем найдем значения производной для функции f(x).

1. Вычисление производной функции y = 1/корень из (3x + 1)

Для функции y = 1/(3x + 1)^(1/2) мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции и правило производной частного. Сначала перепишем функцию в удобной форме:

• y = (3x + 1)^(-1/2)

Теперь применим правило дифференцирования:

• dy/dx = -1/2 * (3x + 1)^(-3/2) * (3)

Объяснение шагов:

1. Мы применяем правило производной для функции вида x^n, где n = -1/2.
2. Затем умножаем на производную внутренней функции (3x + 1),которая равна 3.
3. Итак, производная будет: dy/dx = -3/(2 * (3x + 1)^(3/2)).

2. Вычисление производной функции y = 1/корень из (x^2 - 3x + 2)

Здесь y = 1/(x^2 - 3x + 2)^(1/2). Сначала перепишем функцию:

• y = (x^2 - 3x + 2)^(-1/2)

Теперь снова применим правило дифференцирования:

• dy/dx = -1/2 * (x^2 - 3x + 2)^(-3/2) * (2x - 3)

Объяснение шагов:

1. Сначала мы применяем правило производной для функции вида x^n, где n = -1/2.
2. Затем умножаем на производную внутренней функции (x^2 - 3x + 2),которая равна 2x - 3.
3. В результате получаем: dy/dx = -(2x - 3)/(2 * (x^2 - 3x + 2)^(3/2)).

3. Нахождение значения производной для функции f(x) = корень из (3/2) * sin(3x - π/4)

Для нахождения производной функции f(x) мы используем правило производной для произведения и правило цепочки:

• f'(x) = корень из (3/2) * cos(3x - π/4) * 3

Теперь подставим значения x = π/12 и x = -π/6:

1. Для x = π/12:
• f'(π/12) = корень из (3/2) * cos(3 * π/12 - π/4) * 3
• Упрощаем: 3 * π/12 = π/4, значит cos(π/4) = √2/2.
• Таким образом, f'(π/12) = корень из (3/2) * (√2/2) * 3 = (3 * √6)/4.
2. Для x = -π/6:
• f'(-π/6) = корень из (3/2) * cos(3 * (-π/6) - π/4) * 3
• Упрощаем: 3 * (-π/6) = -π/2, значит cos(-π/2) = 0.
• Таким образом, f'(-π/6) = корень из (3/2) * 0 * 3 = 0.

В итоге, мы нашли производные для обеих функций и значения производной для функции f(x) в указанных точках.