Как можно вычислить производную для следующих функций:

1. y = 1/корень из (3x + 1)
2. у = 1/корень из (x^2 - 3x + 2)

Кроме того, как определить значение производной в указанных точках для функции:

f(x) = корень из (3/2) * sin(3x - π/4) при x = π/12 и x = -π/6?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функций алгебра 11 класс производная корень значение производной тригонометрические функции производная синуса производная дробной функции Новый

Давайте разберемся, как вычислить производные для заданных функций, а затем найдем значения производной для функции f(x).

1. Вычисление производной функции y = 1/корень из (3x + 1)

Для функции y = 1/(3x + 1)^(1/2) мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции и правило производной частного. Сначала перепишем функцию в удобной форме:

• y = (3x + 1)^(-1/2)

Теперь применим правило дифференцирования:

• dy/dx = -1/2 * (3x + 1)^(-3/2) * (3)

Объяснение шагов:

1. Мы применяем правило производной для функции вида x^n, где n = -1/2.
2. Затем умножаем на производную внутренней функции (3x + 1), которая равна 3.
3. Итак, производная будет: dy/dx = -3/(2 * (3x + 1)^(3/2)).

2. Вычисление производной функции y = 1/корень из (x^2 - 3x + 2)

Здесь y = 1/(x^2 - 3x + 2)^(1/2). Сначала перепишем функцию:

• y = (x^2 - 3x + 2)^(-1/2)

Теперь снова применим правило дифференцирования:

• dy/dx = -1/2 * (x^2 - 3x + 2)^(-3/2) * (2x - 3)

Объяснение шагов:

1. Сначала мы применяем правило производной для функции вида x^n, где n = -1/2.
2. Затем умножаем на производную внутренней функции (x^2 - 3x + 2), которая равна 2x - 3.
3. В результате получаем: dy/dx = -(2x - 3)/(2 * (x^2 - 3x + 2)^(3/2)).

3. Нахождение значения производной для функции f(x) = корень из (3/2) * sin(3x - π/4)

Для нахождения производной функции f(x) мы используем правило производной для произведения и правило цепочки:

• f'(x) = корень из (3/2) * cos(3x - π/4) * 3

Теперь подставим значения x = π/12 и x = -π/6:

1. Для x = π/12:
• f'(π/12) = корень из (3/2) * cos(3 * π/12 - π/4) * 3
• Упрощаем: 3 * π/12 = π/4, значит cos(π/4) = √2/2.
• Таким образом, f'(π/12) = корень из (3/2) * (√2/2) * 3 = (3 * √6)/4.
2. Для x = -π/6:
• f'(-π/6) = корень из (3/2) * cos(3 * (-π/6) - π/4) * 3
• Упрощаем: 3 * (-π/6) = -π/2, значит cos(-π/2) = 0.
• Таким образом, f'(-π/6) = корень из (3/2) * 0 * 3 = 0.

В итоге, мы нашли производные для обеих функций и значения производной для функции f(x) в указанных точках.