Чтобы вычислить производные заданных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило цепи, производные тригонометрических функций и производные степенных функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Здесь мы будем использовать правило цепи. Правило цепи гласит, что если у нас есть функция, состоящая из другой функции, то производная будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

1. Обозначим внутреннюю функцию: u = 9 - 7x.
2. Тогда y = u^8.
3. Теперь найдем производные:
• Производная внешней функции: dy/du = 8u^7.
• Производная внутренней функции: du/dx = -7.
4. Теперь применим правило цепи:
dy/dx = dy/du * du/dx = 8u^7 * (-7) = -56(9 - 7x)^7.

Для этой функции мы также будем использовать правило цепи. В данном случае у нас есть сумма внутри косинуса.

1. Обозначим внутреннюю функцию: u = x/2 + π/4.
2. Тогда y = cos(u).
3. Теперь найдем производные:
• Производная внешней функции: dy/du = -sin(u).
• Производная внутренней функции: du/dx = 1/2.
4. Теперь применим правило цепи:
dy/dx = dy/du * du/dx = -sin(u) * (1/2) = -1/2 * sin(x/2 + π/4).

Эта функция является линейной, и мы можем использовать правило для нахождения производной линейной функции.

1. Производная от константы (в данном случае 4) равна 0.
2. Производная от (2/5)x равна 2/5.

Теперь мы имеем производные для всех трех функций:

• Для y = (9 - 7x)^8: dy/dx = -56(9 - 7x)^7.
• Для y = cos(x/2 + π/4): dy/dx = -1/2 * sin(x/2 + π/4.
• Для y = (2/5)x + 4: dy/dx = 2/5.