Чтобы вычислить производную функции f(x) = √(6 + 6cos²(x²)) в точке x₀ = √π/2, следуем следующим шагам:

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Мы можем записать f(x) как:

• u = 6 + 6cos²(x²)
• f(x) = √u

Теперь применим правило производной для сложной функции:

f'(x) = (1/2) * u^(-1/2) * u'

Где u' - это производная u по x.

Теперь найдем производную u:

• u = 6 + 6cos²(x²)
• u' = 0 + 6 * 2cos(x²)(-sin(x²)) * (2x) = -24x * cos(x²) * sin(x²)

Теперь подставим u и u' в формулу для производной f(x):

• f'(x) = (1/2) * (6 + 6cos²(x²))^(-1/2) * (-24x * cos(x²) * sin(x²))

Упростим полученное выражение:

• f'(x) = -12x * (6 + 6cos²(x²))^(-1/2) * cos(x²) * sin(x²)

Теперь подставим x₀ = √π/2 в выражение для производной:

• f'(√π/2) = -12(√π/2) * (6 + 6cos²((√π/2)²))^(-1/2) * cos((√π/2)²) * sin((√π/2)²)
• (√π/2)² = π/4
• cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2

Теперь подставим значение cos(π/4) и sin(π/4):

• f'(√π/2) = -12(√π/2) * (6 + 6(√2/2)²)^(-1/2) * (√2/2) * (√2/2)
• 6 + 6(√2/2)² = 6 + 6(1/2) = 6 + 3 = 9

Таким образом, получаем:

• f'(√π/2) = -12(√π/2) * (9)^(-1/2) * (1/2)
• f'(√π/2) = -12(√π/2) * (1/3) * (1/2)
• f'(√π/2) = -2(√π/3)

Производная функции f(x) в точке x₀ = √π/2 равна -2(√π/3).