Как можно вычислить производную функции для следующих выражений:

1. у=Х^5+9Х^20+1
2. у= (Х^2-1)(Х^4+2)

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 11 класс производная многочлена правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем оба выражения по отдельности.

1. Функция: у = X^5 + 9X^20 + 1

Для этой функции мы будем использовать правило дифференцирования для степенной функции, которое гласит, что производная функции вида X^n равна n*X^(n-1).

• Производная от X^5:
  • n = 5, следовательно, производная будет 5*X^(5-1) = 5*X^4.
• Производная от 9X^20:
  • n = 20, следовательно, производная будет 9*20*X^(20-1) = 180*X^19.
• Производная от константы 1:
  • Производная любой константы равна 0.

Теперь складываем все производные:

у' = 5*X^4 + 180*X^19 + 0 = 5*X^4 + 180*X^19.

2. Функция: у = (X^2 - 1)(X^4 + 2)

Для этой функции мы применим правило произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций f(X) и g(X) равна:

(f*g)' = f'*g + f*g'.

Обозначим:

• f(X) = X^2 - 1
• g(X) = X^4 + 2

Теперь найдем производные f' и g':

• f' = производная от X^2 - 1:
  • Производная от X^2: 2*X.
  • Производная от -1: 0.
  • Следовательно, f' = 2*X.
• g' = производная от X^4 + 2:
  • Производная от X^4: 4*X^3.
  • Производная от 2: 0.
  • Следовательно, g' = 4*X^3.

Теперь подставим в правило произведения:

у' = f'*g + f*g' = (2*X)(X^4 + 2) + (X^2 - 1)(4*X^3).

Теперь упростим это выражение:

• Первое слагаемое:
  • (2*X)(X^4 + 2) = 2*X^5 + 4*X.
• Второе слагаемое:
  • (X^2 - 1)(4*X^3) = 4*X^5 - 4*X^3.

Теперь складываем оба слагаемых:

у' = (2*X^5 + 4*X) + (4*X^5 - 4*X^3) = 6*X^5 - 4*X^3 + 4*X.

Таким образом, производные для обеих функций:

• у' = 5*X^4 + 180*X^19 для первой функции.
• у' = 6*X^5 - 4*X^3 + 4*X для второй функции.