Как можно вычислить производную функции f(x) = tg(1 / √x) с детальным объяснением всех шагов решения?

Алгебра 11 класс Производные функций вычислить производную функция f(x) tg(1/√x) шаги решения алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = tg(1 / √x), мы будем использовать правило производной сложной функции, а также производные основных тригонометрических функций. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определение функции и её составных частей

Функция f(x) = tg(1 / √x) состоит из двух частей:

• внутренняя функция: u(x) = 1 / √x
• внешняя функция: v(u) = tg(u)

Шаг 2: Нахождение производной внутренней функции

Для начала найдем производную внутренней функции u(x) = 1 / √x. Мы можем переписать её как:

u(x) = x^(-1/2)

Теперь применим правило дифференцирования степенной функции:

u'(x) = -1/2 * x^(-3/2) = -1 / (2 * x^(3/2))

Шаг 3: Нахождение производной внешней функции

Теперь найдем производную внешней функции v(u) = tg(u). Производная функции тангенса равна:

v'(u) = sec^2(u)

где sec(u) - это секанс, который равен 1/cos(u).

Шаг 4: Применение правила цепочки

Теперь мы можем использовать правило цепочки, чтобы найти производную функции f(x). Правило цепочки гласит:

f'(x) = v'(u) * u'(x)

Подставим найденные производные:

f'(x) = sec^2(u) * u'(x)

Теперь подставим u(x) и u'(x):

f'(x) = sec^2(1 / √x) * (-1 / (2 * x^(3/2)))

Шаг 5: Запись окончательного результата

Теперь мы можем записать производную функции f(x):

f'(x) = -sec^2(1 / √x) / (2 * x^(3/2))

Таким образом, мы получили производную функции f(x) = tg(1 / √x).