Чтобы вычислить производную функции f(x) = sin(x) / ln(x) в точке x0 = e, мы воспользуемся правилом производной частного. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде отношения двух функций u(x) и v(x), то производная f'(x) вычисляется по формуле:

f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

В нашем случае:

• u(x) = sin(x)
• v(x) = ln(x)

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

• u'(x) = cos(x)
• v'(x) = 1/x

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

f'(x) = (cos(x) * ln(x) - sin(x) * (1/x)) / (ln(x))^2

Теперь нам нужно вычислить производную в точке x0 = e. Для этого подставим x = e в нашу формулу:

Сначала найдем значения функций и их производных в точке x = e:

• u(e) = sin(e)
• v(e) = ln(e) = 1
• u'(e) = cos(e)
• v'(e) = 1/e

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

f'(e) = (cos(e) * 1 - sin(e) * (1/e)) / (1)^2

Упрощаем:

f'(e) = cos(e) - sin(e) / e

Таким образом, производная функции sin(x) / ln(x) в точке x0 = e равна:

f'(e) = cos(e) - sin(e) / e

Это и есть искомое значение производной в заданной точке.