Как можно вычислить производную функции:

y = 2sin (x/2) * cos (x/2)?

Алгебра 11 класс Производные функций вычислить производную функции производная y = 2sin(x/2) * cos(x/2) алгебра 11 класс правила дифференцирования тригонометрические функции Новый

Чтобы вычислить производную функции y = 2sin(x/2) * cos(x/2), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть функция, которая является произведением двух функций, то производная этой функции равна:

(u * v)' = u' * v + u * v'

Где u и v - это функции, а u' и v' - их производные.

В нашем случае:

• u = 2sin(x/2)
• v = cos(x/2)

Теперь нам нужно найти производные u и v.

1. Находим u':
• u = 2sin(x/2)
• Используем цепное правило: производная sin(kx) равна k * cos(kx).
• В нашем случае k = 1/2, поэтому:
• u' = 2 * (1/2) * cos(x/2) = cos(x/2).
2. Находим v':
• v = cos(x/2)
• Используем цепное правило: производная cos(kx) равна -k * sin(kx).
• В нашем случае k = 1/2, поэтому:
• v' = -(1/2) * sin(x/2) = -1/2 * sin(x/2).

Теперь мы можем подставить найденные производные в формулу правила произведения:

y' = u' * v + u * v'

Подставляем значения:

y' = (cos(x/2) * cos(x/2)) + (2sin(x/2) * (-1/2 * sin(x/2)))

Упрощаем:

y' = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)

Таким образом, производная функции y = 2sin(x/2) * cos(x/2) равна:

y' = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)