Как можно вычислить производную функции y, которая представлена в виде y=lnx·∛x^2?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 11 класс ln x производная ln x производная корня производная произведения правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = ln(x) · ∛(x²), мы будем использовать правило произведения, так как функция представлена в виде произведения двух функций: ln(x) и ∛(x²).

Шаги решения:

1. Определим функции:
   • u = ln(x)
   • v = ∛(x²) = x^(2/3)
2. Найдём производные u и v:
   • Производная u:
     • u' = d(ln(x))/dx = 1/x
   • Производная v:
     • v' = d(x^(2/3))/dx = (2/3)x^(-1/3) = 2/(3√[3]{x})
3. Применим правило произведения:

   Если y = u · v, то производная y' будет равна:

   y' = u'v + uv'

4. Подставим найденные значения:

   Теперь подставим u, v, u' и v' в формулу:

   y' = (1/x) · (x^(2/3)) + (ln(x)) · (2/(3√[3]{x}))

5. Упростим выражение:

   Первую часть:

   • (1/x) · (x^(2/3)) = x^(2/3 - 1) = x^(-1/3) = 1/∛x

   Таким образом, мы получаем:

   y' = 1/∛x + (ln(x)) · (2/(3√[3]{x}))

В итоге, производная функции y = ln(x) · ∛(x²) равна:

y' = 1/∛x + (2/3) · (ln(x)) / ∛x.