Как можно вычислить производную функции, заданной как sin^2(x^3)?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции вычисление производной sin^2(x^3) алгебра 11 класс правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции, заданной как sin^2(x^3), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, а также правило произведения. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определим функцию

Мы можем обозначить нашу функцию как:

y = sin^2(x^3)

Шаг 2: Применим правило цепочки

Для нахождения производной функции, которая является квадратом другой функции, мы можем использовать правило цепочки. В нашем случае:

y = (sin(u))^2, где u = x^3.

Шаг 3: Найдем производную внешней функции

Сначала найдем производную внешней функции. Производная от sin^2(u) по u будет:

dy/du = 2*sin(u)*cos(u) = sin(2u) (по формуле удвоенного угла).

Шаг 4: Найдем производную внутренней функции

Теперь найдем производную внутренней функции u = x^3:

du/dx = 3x^2.

Шаг 5: Применим правило произведения

Теперь, чтобы найти dy/dx, мы используем правило произведения:

dy/dx = dy/du * du/dx.

Шаг 6: Подставим найденные производные

Подставим значения:

dy/dx = sin(2u) * 3x^2.

Теперь заменим u обратно на x^3:

dy/dx = sin(2*x^3) * 3x^2.

Шаг 7: Запишем окончательный ответ

Таким образом, производная функции sin^2(x^3) будет:

dy/dx = 3x^2 * sin(2*x^3).

Это и есть искомая производная!