Вычисление производных функций — это важный аспект дифференциального исчисления. Давайте разберем каждую из указанных функций по очереди и найдем их производные, объясняя шаги решения.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная 2/x = -2/x^2 (используем правило для дробей).
• Производная 4√x = 4 * (1/2)x^(-1/2) = 2/x^(1/2) (используем правило для корней).
• Производная e^x = e^x (это базовое правило).

Теперь объединяем все производные:

f'(x) = -2/x^2 + 2/x^(1/2) - e^x.

Здесь мы используем правило цепочки:

• Сначала найдем производную внешней функции: (u^3)' = 3u^2, где u = 3x - 5.
• Теперь найдем производную внутренней функции: (3x - 5)' = 3.

Теперь применяем правило цепочки:

f'(x) = 3(3x - 5)^2 * 3 = 9(3x - 5)^2.

Здесь мы также используем правило произведения:

• Обозначим u = 3sin(2x) и v = cos(x).
• Производная u: u' = 3 * 2cos(2x) = 6cos(2x) (используем правило для синуса).
• Производная v: v' = -sin(x).

Теперь применяем правило произведения:

f'(x) = u'v + uv' = 6cos(2x)cos(x) + 3sin(2x)(-sin(x)) = 6cos(2x)cos(x) - 3sin(2x)sin(x).

Для этой функции используем правило деления:

• Обозначим u = x^3 и v = x^2 + 5.
• Производная u: u' = 3x^2.
• Производная v: v' = 2x.

Теперь применяем правило деления:

f'(x) = (u'v - uv') / v^2 = (3x^2(x^2 + 5) - x^3(2x)) / (x^2 + 5)^2.

Упрощаем числитель: 3x^4 + 15x^2 - 2x^4 = x^4 + 15x^2.

Итак, окончательная производная:

f'(x) = (x^4 + 15x^2) / (x^2 + 5)^2.

Таким образом, мы нашли производные для всех указанных функций. Если у вас есть вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь задавать их!