Как можно вычислить производную следующих функций:

1. f(x)= 5(3x+x³-4x⁴)³
2. f(x)= (3√x - 2x²+x^5)^5

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 11 класс функции в алгебре правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепочки, а также правила дифференцирования для степенных функций.

1. Вычисление производной функции f(x) = 5(3x + x³ - 4x⁴)³

Для начала, обозначим внутреннюю функцию:

• g(x) = 3x + x³ - 4x⁴

Теперь мы можем записать функцию f(x) как:

• f(x) = 5(g(x))³

Сначала найдем производную внешней функции:

• f'(x) = 5 * 3(g(x))² * g'(x) = 15(g(x))² * g'(x)

Теперь найдем производную внутренней функции g(x):

• g'(x) = 3 - 12x² + 0 = 3 - 12x²

Теперь подставим g(x) и g'(x) обратно в производную f'(x):

• f'(x) = 15(3x + x³ - 4x⁴)² * (3 - 12x²)

2. Вычисление производной функции f(x) = (3√x - 2x² + x^5)⁵

Сначала обозначим внутреннюю функцию:

• h(x) = 3√x - 2x² + x^5

Теперь мы можем записать функцию f(x) как:

• f(x) = (h(x))⁵

Сначала найдем производную внешней функции:

• f'(x) = 5(h(x))⁴ * h'(x)

Теперь найдем производную внутренней функции h(x):

• h'(x) = (3/2)x^(-1/2) - 4x + 5x^4

Подставим h(x) и h'(x) обратно в производную f'(x):

• f'(x) = 5(3√x - 2x² + x^5)⁴ * ((3/2)x^(-1/2) - 4x + 5x^4)

Таким образом, мы нашли производные обеих функций:

• f'(x) = 15(3x + x³ - 4x⁴)² * (3 - 12x²)
• f'(x) = 5(3√x - 2x² + x^5)⁴ * ((3/2)x^(-1/2) - 4x + 5x^4)