Как можно вычислить производную следующих функций:

1. у=2sin(x/2)cos(x/2)
2. у=sin(2x)cos(x)-cos(2x)sin(x)
3. y=sin(x/3)cos(2x/3)+cos(x/3)sin(2x/3

Кроме того, каким образом можно определить значение производной данной функции в точке Хо (икс нулевое)?

Пожалуйста, объясните процесс вычисления производной.

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функций алгебра 11 класс тригонометрические функции производная в точке правила дифференцирования синус косинус производная Новый

Давайте разберем, как вычислить производные указанных функций, а также как определить значение производной в заданной точке.

1. Функция: у = 2sin(x/2)cos(x/2)

Для вычисления производной этой функции мы можем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у = f(x)g(x), то производная y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

В нашем случае:

• f(x) = 2sin(x/2), g(x) = cos(x/2).

Теперь найдем производные f'(x) и g'(x):

• f'(x) = 2 * (1/2)cos(x/2) = cos(x/2),
• g'(x) = -(1/2)sin(x/2).

Теперь подставим в правило произведения:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = cos(x/2)cos(x/2) + 2sin(x/2)(-(1/2)sin(x/2)) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2).

2. Функция: у = sin(2x)cos(x) - cos(2x)sin(x)

Здесь мы также можем использовать правило произведения и правило сложной функции. Функция может быть представлена как разность двух произведений:

• f(x) = sin(2x), g(x) = cos(x),
• h(x) = cos(2x), k(x) = sin(x).

Теперь находим производные:

• f'(x) = 2cos(2x), g'(x) = -sin(x),
• h'(x) = -2sin(2x), k'(x) = cos(x).

Теперь применим правило произведения:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) - (h'(x)k(x) + h(x)k'(x)).

Подставляем значения:

y' = 2cos(2x)cos(x) + sin(2x)(-sin(x)) - (-2sin(2x)sin(x) + cos(2x)cos(x)).

Упрощаем это выражение.

3. Функция: y = sin(x/3)cos(2x/3) + cos(x/3)sin(2x/3)

Эта функция также может быть представлена как сумма двух произведений:

• f(x) = sin(x/3), g(x) = cos(2x/3),
• h(x) = cos(x/3), k(x) = sin(2x/3).

Находим производные:

• f'(x) = (1/3)cos(x/3), g'(x) = -(2/3)sin(2x/3),
• h'(x) = -(1/3)sin(x/3), k'(x) = (2/3)cos(2x/3).

Теперь подставляем в правило произведения:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) + h'(x)k(x) + h(x)k'(x).

Подставляем значения и упрощаем.

Определение значения производной в точке Хо:

Чтобы найти значение производной в точке Хо (x0), нам нужно подставить x0 в полученную производную y'. Например, если мы нашли производную y' = ... , то:

y'(x0) = ... (подставляем x0).

Таким образом, мы получаем значение производной функции в данной точке.