Как можно вычислить производные для следующих функций?

1. y = -3√x + 1/3cosx - 1/2ctgx
2. √(x(-2x+1))
3. Y = x/(x^2 - 1)

Если возможно, пожалуйста, объясните подробно.

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производных производные функций алгебра 11 класс производные примеры правила дифференцирования Новый

Давайте разберем, как вычислить производные для каждой из данных функций. Мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, правило произведения и правило частного.

1. Первая функция: y = -3√x + 1/3cosx - 1/2ctgx

Для этой функции мы будем использовать следующие правила:

• Производная корня: Если y = √x, то y' = 1/(2√x).
• Производная косинуса: Если y = cos(x), то y' = -sin(x).
• Производная котангенса: Если y = ctg(x), то y' = -csc^2(x).

Теперь вычислим производную:

1. Производная от -3√x: -3 * (1/(2√x)) = -3/(2√x).
2. Производная от 1/3cosx: 1/3 * (-sin(x)) = -1/3sin(x).
3. Производная от -1/2ctgx: -1/2 * (-csc^2(x)) = 1/2csc^2(x).

Теперь складываем все эти производные:

y' = -3/(2√x) - 1/3sin(x) + 1/2csc^2(x).

2. Вторая функция: y = √(x(-2x+1))

Здесь мы будем использовать правило произведения и правило дифференцирования корня:

Сначала упростим выражение под корнем: x(-2x + 1) = -2x^2 + x.

Теперь, чтобы найти производную, используем правило цепочки:

• Если y = √u, то y' = (1/(2√u)) * u'.

Здесь u = -2x^2 + x, и его производная:

• u' = -4x + 1.

Таким образом, производная y будет:

y' = (1/(2√(-2x^2 + x))) * (-4x + 1).

3. Третья функция: Y = x/(x^2 - 1)

Для этой функции мы будем использовать правило частного:

• Если Y = u/v, то Y' = (u'v - uv')/v².

Где:

• u = x, тогда u' = 1.
• v = x^2 - 1, тогда v' = 2x.

Теперь подставим в формулу:

Y' = (1*(x^2 - 1) - x*(2x))/(x^2 - 1)².

Упростим числитель:

Y' = (x^2 - 1 - 2x^2)/((x^2 - 1)²) = (-x^2 - 1)/((x^2 - 1)²).

Таким образом, мы нашли производные для всех трех функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!