Для вычисления производных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило степени, правило суммы, производные элементарных функций и правило произведения. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

• Производная от (5/7)x^4: используем правило степени. Производная будет (5/7) * 4 * x^(4-1) = (20/7)x^3.
• Производная от 4x^3: аналогично, это будет 4 * 3 * x^(3-1) = 12x^2.
• Производная от (2/3)x: это просто (2/3),так как производная от x равна 1.
• Производная от постоянной -2 равна 0.

Соберем все вместе: y' = (20/7)x^3 + 12x^2 + (2/3).

• Производная от 7√x: помним, что √x = x^(1/2),поэтому производная будет 7 * (1/2)x^(-1/2) = (7/2)x^(-1/2) = (7/(2√x)).
• Производная от 0.5cos(x): это -0.5sin(x).
• Производная от -3tg(x): это -3sec^2(x).

Итак, y' = (7/(2√x)) - 0.5sin(x) - 3sec^2(x).

• Здесь мы используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'.
• Пусть u = √x, v = (5x - 3).
• Производная u: u' = (1/2)x^(-1/2) = (1/(2√x)).
• Производная v: v' = 5.

Теперь подставим в формулу: y' = (1/(2√x))(5x - 3) + √x * 5. Упрощая, получаем y' = (5x - 3)/(2√x) + 5√x.

• Здесь используем правило деления: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2.
• Пусть u = -3x, v = x^2 + 3x.
• Производная u: u' = -3.
• Производная v: v' = 2x + 3.

Теперь подставим в формулу: y' = (-3)(x^2 + 3x) - (-3x)(2x + 3)/(x^2 + 3x)^2. Упрощая, получаем y' = (-3x^2 - 9x + 6x^2 + 9x)/(x^2 + 3x)^2 = (3x^2)/(x^2 + 3x)^2.

Таким образом, мы вычислили производные всех заданных функций.