Как можно вычислить производные следующих функций:

1. а) y = 5/7x^4 + 4x^3 + 2/3x - 2
2. б) y = 7√x + 0,5cosx - 3tgx
3. в) y = √x(5x - 3)
4. г) y = -3x/(x^2 + 3x)

Алгебра 11 класс Производные функций производные функций алгебра 11 класс вычисление производных функции алгебраические выражения Новый

Для вычисления производных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило степени, правило суммы, производные элементарных функций и правило произведения. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

а) y = (5/7)x^4 + 4x^3 + (2/3)x - 2

• Производная от (5/7)x^4: используем правило степени. Производная будет (5/7) * 4 * x^(4-1) = (20/7)x^3.
• Производная от 4x^3: аналогично, это будет 4 * 3 * x^(3-1) = 12x^2.
• Производная от (2/3)x: это просто (2/3), так как производная от x равна 1.
• Производная от постоянной -2 равна 0.

Соберем все вместе: y' = (20/7)x^3 + 12x^2 + (2/3).

б) y = 7√x + 0.5cos(x) - 3tg(x)

• Производная от 7√x: помним, что √x = x^(1/2), поэтому производная будет 7 * (1/2)x^(-1/2) = (7/2)x^(-1/2) = (7/(2√x)).
• Производная от 0.5cos(x): это -0.5sin(x).
• Производная от -3tg(x): это -3sec^2(x).

Итак, y' = (7/(2√x)) - 0.5sin(x) - 3sec^2(x).

в) y = √x(5x - 3)

• Здесь мы используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'.
• Пусть u = √x, v = (5x - 3).
• Производная u: u' = (1/2)x^(-1/2) = (1/(2√x)).
• Производная v: v' = 5.

Теперь подставим в формулу: y' = (1/(2√x))(5x - 3) + √x * 5. Упрощая, получаем y' = (5x - 3)/(2√x) + 5√x.

г) y = -3x/(x^2 + 3x)

• Здесь используем правило деления: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2.
• Пусть u = -3x, v = x^2 + 3x.
• Производная u: u' = -3.
• Производная v: v' = 2x + 3.

Теперь подставим в формулу: y' = (-3)(x^2 + 3x) - (-3x)(2x + 3)/(x^2 + 3x)^2. Упрощая, получаем y' = (-3x^2 - 9x + 6x^2 + 9x)/(x^2 + 3x)^2 = (3x^2)/(x^2 + 3x)^2.

Таким образом, мы вычислили производные всех заданных функций.