Как можно вычислить производные следующих функций?

1. y=5x^7-3/x^2+x*корень из x - 2
2. y=2-x/3x+1
3. y=(5x^2-2)^6
4. y=3sin*(2x+пи/4)

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производных алгебра 11 класс функции производные математика задачи по алгебре примеры производных Новый

Давайте рассмотрим, как вычислить производные каждой из указанных функций по очереди. Я объясню шаги, которые нужно выполнить для нахождения производной.

1. Для функции y = 5x^7 - 3/x^2 + x*корень из x - 2

1. Приведем все члены к удобному виду: 3/x^2 можно записать как 3x^(-2), а x*корень из x как x*(x^(1/2)) = x^(3/2).
2. Теперь функция выглядит так: y = 5x^7 - 3x^(-2) + x^(3/2) - 2.
3. Теперь применим правило дифференцирования: d/dx (x^n) = n*x^(n-1).
4. Вычисляем производные каждого члена:
• d/dx(5x^7) = 35x^6
• d/dx(-3x^(-2)) = 6x^(-3)
• d/dx(x^(3/2)) = (3/2)x^(1/2)
• d/dx(-2) = 0
5. Соберем все производные: y' = 35x^6 + 6x^(-3) + (3/2)x^(1/2).

2. Для функции y = 2 - x/(3x + 1)

1. Здесь нужно использовать правило дифференцирования дроби: d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v^2, где u = -x, v = 3x + 1.
2. Находим производные u и v:
• u' = -1
• v' = 3
3. Теперь подставляем в формулу:
• y' = ( (-1)(3x + 1) - (-x)(3) ) / (3x + 1)^2
4. Упрощаем: y' = (-3x - 1 + 3x) / (3x + 1)^2 = -1 / (3x + 1)^2.

3. Для функции y = (5x^2 - 2)^6

1. Здесь используем правило цепочки: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x), где f(u) = u^6, g(x) = 5x^2 - 2.
2. Находим производные f и g:
• f'(u) = 6u^5, g'(x) = 10x.
3. Теперь подставляем:
• y' = 6(5x^2 - 2)^5 * 10x = 60x(5x^2 - 2)^5.

4. Для функции y = 3sin(2x + π/4)

1. Здесь также используем правило цепочки: d/dx(sin(g(x))) = cos(g(x)) * g'(x).
2. g(x) = 2x + π/4, g'(x) = 2.
3. Теперь вычисляем производную:
• y' = 3cos(2x + π/4) * 2 = 6cos(2x + π/4).

Таким образом, мы нашли производные всех четырех функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!