Как можно выразить число 36 в виде произведения двух множителей, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Алгебра 11 класс Оптимизация выражений число 36 произведение двух множителей сумма квадратов наименьшее значение алгебра 11 класс Новый

Для того чтобы выразить число 36 в виде произведения двух множителей, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, нам нужно рассмотреть два множителя, которые мы обозначим как x и y. Мы знаем, что:

x * y = 36

Наша цель - минимизировать сумму квадратов этих множителей:

S = x^2 + y^2

Мы можем выразить y через x, подставив его в уравнение:

y = 36 / x

Теперь подставим это значение в формулу для S:

S = x^2 + (36 / x)^2

Раскроем скобки:

S = x^2 + 1296 / x^2

Теперь, чтобы найти минимум функции S, мы можем воспользоваться производной. Найдем производную S по x и приравняем её к нулю:

S' = 2x - 1296 / x^3

Приравниваем производную к нулю:

2x - 1296 / x^3 = 0

Умножим обе стороны на x^3 для удобства:

2x^4 = 1296

Теперь разделим обе стороны на 2:

x^4 = 648

Теперь найдём x:

x = (648)^(1/4)

Вычисляем значение:

x = 6

Теперь, подставим значение x обратно, чтобы найти y:

y = 36 / 6 = 6

Таким образом, мы получили, что оба множителя равны 6:

x = 6, y = 6

Теперь проверим сумму квадратов:

S = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72

Таким образом, минимальная сумма квадратов достигается, когда оба множителя равны 6. Мы можем выразить число 36 как произведение:

36 = 6 * 6

И сумма квадратов этих множителей составляет 72, что является наименьшим возможным значением для данной задачи.