Какое значение a необходимо найти, чтобы сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 - a)x – a - 3 = 0 была минимальной?

Алгебра 11 класс Оптимизация выражений значение a сумма квадратов корней уравнение x² минимальное значение алгебра 11 класс Новый

Для того чтобы найти значение a, при котором сумма квадратов корней уравнения минимальна, начнем с анализа данного квадратного уравнения:

Уравнение имеет вид:

x² + (2 - a)x - (a + 3) = 0.

Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы корней:

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае:

• a = 1,
• b = 2 - a,
• c = -(a + 3).

Теперь подставим эти значения в формулу:

x1,2 = (-(2 - a) ± √((2 - a)² - 4 * 1 * (-(a + 3)))) / (2 * 1).

Сначала упростим дискриминант:

D = (2 - a)² + 4(a + 3).

D = (2 - a)² + 4a + 12 = 4 - 4a + a² + 4a + 12 = a² + 16.

Теперь найдем сумму квадратов корней:

Сумма корней уравнения равна -b/a, а сумма квадратов корней равна:

(x1 + x2)² - 2x1x2.

Сначала найдем сумму корней:

x1 + x2 = -(2 - a) = a - 2.

Теперь найдем произведение корней:

x1 * x2 = c/a = -(a + 3).

Теперь подставим эти значения в формулу для суммы квадратов:

Сумма квадратов = (a - 2)² - 2(- (a + 3)) = (a - 2)² + 2(a + 3).

Раскроем скобки:

(a - 2)² = a² - 4a + 4.

Теперь подставим это в формулу:

Сумма квадратов = a² - 4a + 4 + 2a + 6 = a² - 2a + 10.

Теперь нам нужно минимизировать функцию:

f(a) = a² - 2a + 10.

Это квадратная функция, которая имеет минимум в вершине параболы. Вершина параболы находится по формуле:

a_вершины = -b / (2a),

где b - коэффициент при a (в данном случае -2), и a - коэффициент перед a² (в данном случае 1).

Подставляем значения:

a_вершины = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.

Таким образом, значение a, при котором сумма квадратов корней уравнения минимальна, равно:

a = 1.