Чтобы найти корни уравнения x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0, мы можем использовать несколько методов. В данном случае, мы попробуем сначала найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях, а затем, если необходимо, применим метод деления многочленов. Вот шаги, которые мы будем выполнять:

1. Поиск возможных рациональных корней:

   Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p – делители свободного члена (в нашем случае 2), а q – делители ведущего коэффициента (в нашем случае 1).

   • Делители 2: ±1, ±2
   • Делители 1: ±1

   Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2.

2. Подстановка возможных корней:

   Теперь мы подставим найденные значения в уравнение и проверим, равняется ли результат нулю.

   • Для x = 1:

     1^3 + 4*1^2 + 5*1 + 2 = 1 + 4 + 5 + 2 = 12 (не корень)

   • Для x = -1:

     (-1)^3 + 4*(-1)^2 + 5*(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0 (корень)

   • Для x = 2:

     2^3 + 4*2^2 + 5*2 + 2 = 8 + 16 + 10 + 2 = 36 (не корень)

   • Для x = -2:

     (-2)^3 + 4*(-2)^2 + 5*(-2) + 2 = -8 + 16 - 10 + 2 = 0 (корень)

3. Деление многочлена:

   Теперь, когда мы нашли корни x = -1 и x = -2, мы можем использовать один из них для деления многочлена. Начнем с корня -1:

   Мы можем выполнить деление многочлена x^3 + 4x^2 + 5x + 2 на (x + 1) с помощью схемы Горнера или обычного деления многочленов.

   Результат деления будет:

   x^2 + 3x + 2

4. Нахождение корней квадратного уравнения:

   Теперь мы можем решить квадратное уравнение x^2 + 3x + 2 = 0:

   Для этого мы можем использовать формулу корней или факторизацию:

   Уравнение можно разложить на множители:

   (x + 1)(x + 2) = 0

   Следовательно, корни: x = -1 и x = -2.

Теперь у нас есть все корни уравнения:

• x = -1 (двойной корень)
• x = -2 (одинарный корень)

Таким образом, корни уравнения x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0 равны -1 и -2.