Как найти корни уравнения: z^3 + z^2 + z + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени корни уравнения z^3 + z^2 + z + 1 алгебра 11 класс решение кубического уравнения методы нахождения корней Новый

Чтобы найти корни уравнения z^3 + z^2 + z + 1 = 0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Упростим уравнение

Обратите внимание, что мы можем сгруппировать слагаемые:

• z^3 + z^2 + z + 1 = (z^3 + 1) + (z^2 + z)

Теперь мы можем воспользоваться формулой разности кубов:

• z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 - z + 1)

Таким образом, уравнение можно переписать как:

• (z + 1)(z^2 - z + 1) + (z^2 + z) = 0

Шаг 2: Найдем корни

Теперь у нас есть два множителя. Сначала найдем корни первого множителя:

• z + 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• z = -1

Теперь рассмотрим второй множитель z^2 - z + 1 = 0. Для этого уравнения найдем дискриминант:

• D = (-1)^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Однако мы можем найти комплексные корни:

• z = (1 ± sqrt(-3)) / 2 = (1 ± i * sqrt(3)) / 2

Шаг 3: Запишем все корни

Таким образом, уравнение z^3 + z^2 + z + 1 = 0 имеет следующие корни:

• z1 = -1
• z2 = (1 + i * sqrt(3)) / 2
• z3 = (1 - i * sqrt(3)) / 2

Мы нашли один действительный корень и два комплексных корня. Это и есть все корни данного уравнения!