Как найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями: x+y=4, x=3, y=1, x=0, y=0, z=0, z=2?

Алгебра 11 класс Объем тел вращения Объём тела алгебра поверхности математическая задача ограниченные поверхности Новый

Чтобы найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями, необходимо сначала понять, какие именно объемы мы рассматриваем и как они расположены в пространстве. Давайте разберем каждую из поверхностей по отдельности.

• x + y = 4 - это плоскость, которая наклонена в пространстве и пересекает оси x и y.
• x = 3 - это вертикальная плоскость, которая ограничивает тело по оси x.
• y = 1 - это горизонтальная плоскость, которая ограничивает тело по оси y.
• x = 0 - это плоскость, которая соответствует оси y.
• y = 0 - это плоскость, которая соответствует оси x.
• z = 0 - это плоскость, соответствующая основанию (плоскость xy).
• z = 2 - это верхняя плоскость, ограничивающая тело по оси z.

Теперь мы можем определить границы интегрирования. Объем тела можно найти с помощью тройного интеграла. Однако для начала нужно определить область в плоскости xy, которая будет проецироваться на ось z.

Находим пересечения плоскостей x + y = 4, x = 3 и y = 1:

• При x = 3: y = 4 - 3 = 1. Это точка (3, 1).
• При y = 1: x = 4 - 1 = 3. Это также точка (3, 1).
• При x = 0: y = 4 - 0 = 4. Это точка (0, 4).
• При y = 0: x = 4 - 0 = 4. Это точка (4, 0).

Таким образом, область в плоскости xy ограничена следующими вершинами:

• (0, 0)
• (3, 1)
• (0, 4)
• (4, 0)

Теперь мы можем задать пределы интегрирования:

1. По оси z: от 0 до 2.
2. По оси y: от 0 до 1 (так как y ограничено сверху плоскостью y = 1).
3. По оси x: от 0 до 3 (так как x ограничено сверху плоскостью x = 3).

Теперь составим тройной интеграл для объема V:

V = ∫∫∫ dz dy dx, где пределы интегрирования:

• z: от 0 до 2,
• y: от 0 до 1,
• x: от 0 до 3.

Теперь вычисляем интеграл:

1. Сначала интегрируем по z: ∫(от 0 до 2) dz = 2.
2. Теперь интегрируем по y: ∫(от 0 до 1) 2 dy = 2 * 1 = 2.
3. Наконец, интегрируем по x: ∫(от 0 до 3) 2 dx = 2 * 3 = 6.

Таким образом, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен 6.