Задание № 9

Какой объем будет у тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной уравнением x² + y² = 4, вокруг оси Ох?

Алгебра 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращения уравнение x² + y² = 4 ось Ох алгебра 11 класс геометрия вращения Новый

Для решения задачи о нахождении объема тела, полученного в результате вращения фигуры вокруг оси OX, мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения подробно.

Шаг 1: Определение фигуры

Уравнение x² + y² = 4 описывает круг радиусом 2 с центром в начале координат (0,0). Это значит, что мы имеем дело с кругом, который будет вращаться вокруг оси OX.

Шаг 2: Выражение y через x

Для того чтобы использовать метод дисков, нам нужно выразить y через x. Из уравнения круга получаем:

• y = √(4 - x²) (верхняя часть круга)
• y = -√(4 - x²) (нижняя часть круга, но она нам не нужна для вычисления объема, так как мы вращаем только верхнюю часть)

Шаг 3: Установка пределов интегрирования

Круг радиусом 2 пересекает ось OX в точках x = -2 и x = 2. Эти точки будут нашими пределами интегрирования.

Шаг 4: Формула для объема

Объем V тела вращения вокруг оси OX можно вычислить по формуле:

V = π * ∫[a, b] (f(x))² dx

где f(x) - это функция, описывающая фигуру, а a и b - пределы интегрирования.

Шаг 5: Подстановка в формулу

В нашем случае f(x) = √(4 - x²), и пределы интегрирования a = -2, b = 2. Подставляем в формулу:

V = π * ∫[-2, 2] (√(4 - x²))² dx

Это упрощается до:

V = π * ∫[-2, 2] (4 - x²) dx

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

∫(4 - x²) dx = 4x - (x³/3) + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. Вычисляем для x = 2: 4(2) - (2³/3) = 8 - (8/3) = 24/3 - 8/3 = 16/3
2. Вычисляем для x = -2: 4(-2) - ((-2)³/3) = -8 + (8/3) = -24/3 + 8/3 = -16/3

Теперь подставляем в формулу для объема:

V = π * [(16/3) - (-16/3)] = π * (16/3 + 16/3) = π * (32/3)

Шаг 7: Ответ

Таким образом, объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной уравнением x² + y² = 4, вокруг оси OX, равен:

V = (32/3)π