Какой объём тела получится при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

1. y=x^2+1, x=0, x=1, y=0;
2. y=√x, x=1, x=4, y=0.

Алгебра 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение вокруг оси криволинейная трапеция алгебра 11 класс интегралы площадь фигуры метод дисков метод цилиндров границы интегрирования функции y=x^2+1 функции y=√x Новый

Для решения задачи о нахождении объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, нам нужно рассмотреть каждую из указанных областей и вычислить объем отдельно, а затем сложить их.

1. Область, ограниченная линиями y = x^2 + 1, x = 0, x = 1 и y = 0:

• График функции y = x^2 + 1 – это парабола, которая пересекает ось y в точке (0, 1).
• Линия x = 0 – это вертикальная линия, а x = 1 – это другая вертикальная линия.
• Линия y = 0 – это ось абсцисс.

Для вычисления объема тела вращения используем метод дисков. Формула для объема V выглядит следующим образом:

V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx, где f(x) – это функция, ограничивающая область сверху, а a и b – границы интегрирования.

В нашем случае:

• f(x) = x^2 + 1, a = 0, b = 1.

Подставляем в формулу:

V1 = π ∫[0, 1] (x^2 + 1)^2 dx.

Теперь вычислим интеграл:

(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1.

Теперь интегрируем:

∫(x^4 + 2x^2 + 1) dx = (1/5)x^5 + (2/3)x^3 + x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

V1 = π [(1/5)(1^5) + (2/3)(1^3) + (1)(1) - (0)] = π [(1/5) + (2/3) + 1].

Приведем к общему знаменателю:

1 = 15/15, 2/3 = 10/15, 1/5 = 3/15.

Таким образом:

V1 = π (3/15 + 10/15 + 15/15) = π (28/15).

2. Область, ограниченная линиями y = √x, x = 1, x = 4 и y = 0:

• График функции y = √x – это парабола, которая пересекает ось x в точке (0, 0).
• Линии x = 1 и x = 4 – это вертикальные линии.
• Линия y = 0 – это ось абсцисс.

Используем ту же формулу для объема:

V2 = π ∫[1, 4] (√x)^2 dx.

Так как (√x)^2 = x, то интеграл будет:

V2 = π ∫[1, 4] x dx.

Интегрируем:

∫x dx = (1/2)x^2.

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 4:

V2 = π [(1/2)(4^2) - (1/2)(1^2)] = π [(1/2)(16) - (1/2)(1)] = π (8 - 0.5) = π (7.5).

3. Общий объем:

Теперь складываем оба объема:

V = V1 + V2 = π (28/15) + π (7.5).

Приведем 7.5 к дроби с общим знаменателем:

7.5 = 7.5 × (15/15) = 112.5/15.

Таким образом:

V = π (28/15 + 112.5/15) = π (140.5/15).

Итак, объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен:

V = (140.5/15)π.