Как найти общее решение дифференциального уравнения y''=x*e^x, если заданы начальные условия y(0)=1 и y'(0)=0?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения общее решение Дифференциальное уравнение y''=x*e^x начальные условия y(0)=1 y'(0)=0 алгебра 11 класс Новый

Для решения дифференциального уравнения второго порядка y'' = x * e^x с заданными начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 0, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Сначала рассмотрим однородное уравнение, которое выглядит как y'' = 0. Решение этого уравнения имеет вид:

• y_h(x) = C1 + C2 * x,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Теперь мы ищем частное решение y_p для уравнения y'' = x * e^x. Мы можем использовать метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид:

• y_p(x) = (Ax + B)e^x,

где A и B - константы, которые мы определим позже.

Шаг 3: Вычислим производные y_p.

Найдём первую и вторую производные y_p:

• y_p' = (A + Ax + B)e^x,
• y_p'' = (2A + Ax + B)e^x.

Шаг 4: Подставим y_p и его производные в исходное уравнение.

Теперь подставим y_p'' в уравнение y'' = x * e^x:

• (2A + Ax + B)e^x = x * e^x.

Убираем e^x (так как оно не равно нулю), получаем:

• 2A + Ax + B = x.

Шаг 5: Сравним коэффициенты.

Теперь сравним коэффициенты при x и свободные члены:

• При x: A = 1,
• Свободный член: 2A + B = 0.

Подставляя A = 1, получаем:

• 2 * 1 + B = 0,
• B = -2.

Таким образом, частное решение имеет вид:

• y_p(x) = (x - 2)e^x.

Шаг 6: Запишем общее решение.

Теперь, общее решение будет иметь вид:

• y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 + C2 * x + (x - 2)e^x.

Шаг 7: Применим начальные условия.

Теперь подставим начальные условия для нахождения постоянных C1 и C2.

• y(0) = C1 + C2 * 0 + (0 - 2)e^0 = C1 - 2 = 1.
• Таким образом, C1 = 3.

Теперь найдем y'(x):

• y'(x) = C2 + (1)e^x + (x - 2)e^x + (x - 2)e^x = C2 + (2x - 1)e^x.

Подставим y'(0) = 0:

• 0 = C2 + (2 * 0 - 1)e^0 = C2 - 1.
• Таким образом, C2 = 1.

Шаг 8: Запишем окончательное решение.

Теперь подставим найденные значения C1 и C2 в общее решение:

• y(x) = 3 + 1 * x + (x - 2)e^x = x + (x - 2)e^x + 3.

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями:

• y(x) = x + (x - 2)e^x + 3.