Чтобы найти общее решение уравнения y’ = y/x - 1, мы будем использовать метод разделения переменных. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что у нас есть уравнение в форме y’ = y/x - 1. Мы можем переписать его как:
• y’ = y/x - 1
2. Переносим все члены, содержащие y, в одну часть: Это можно сделать, добавив 1 к обеим сторонам уравнения:
• y’ + 1 = y/x
3. Разделим переменные: Теперь мы можем выразить y и dy в одной части, а x и dx в другой:
• dy = (y/x - 1)dx
• dy = (y/x)dx - dx
4. Соберем все члены с y в одну сторону: Перепишем уравнение так, чтобы все члены с y были с одной стороны:
• dy/(y/x - 1) = dx
5. Интегрируем обе стороны: Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:
• ∫ dy/(y/x - 1) = ∫ dx
6. Выполним интегрирование: Интегрирование левой части может потребовать применения подстановки, но в целом мы получим:
• ln|y/x - 1| = x + C, где C – произвольная константа.
7. Возвращаемся к y: Теперь мы можем выразить y через x. Для этого нужно возвести обе стороны в степень:
• |y/x - 1| = e^(x + C)
• y/x - 1 = ±e^(x + C)
• y/x = ±e^(x + C) + 1
• y = x(±e^(x + C) + 1)

Таким образом, общее решение уравнения y’ = y/x - 1 имеет вид:

y = x(±e^(x + C) + 1)

Где C – произвольная константа. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.