Чтобы найти производную функции f(x) = 15 - 8x^2 + x^4 * 12√x, нам нужно использовать правила дифференцирования. Давайте разберем функцию по частям и найдем производную для каждой из них.

1. **Производная константы**: Производная константы 15 равна 0.

2. **Производная второго члена**: Для второго члена -8x^2 мы применяем правило дифференцирования степенной функции:

• Производная x^n равна n*x^(n-1).

Таким образом, производная -8x^2 будет:

• -8 * 2 * x^(2-1) = -16x.

3. **Производная третьего члена**: Третий член x^4 * 12√x можно упростить перед дифференцированием. Заменим √x на x^(1/2):

• 12√x = 12x^(1/2).

Теперь у нас есть произведение двух функций: x^4 и 12x^(1/2). Для нахождения производной произведения используем правило произведения:

• (u*v)' = u'v + uv',

где u = x^4 и v = 12x^(1/2).

Теперь найдем производные u и v:

• u' = 4x^3,
• v' = 12 * (1/2)x^(-1/2) = 6x^(-1/2) = 6/√x.

Теперь подставим эти значения в формулу для производной произведения:

• f'(x) = u'v + uv' = (4x^3)(12x^(1/2)) + (x^4)(6/√x).

Упрощаем каждую часть:

• 4x^3 * 12x^(1/2) = 48x^(3 + 1/2) = 48x^(7/2),
• x^4 * 6/√x = 6x^(4 - 1/2) = 6x^(7/2).

Теперь объединяем эти результаты:

• 48x^(7/2) + 6x^(7/2) = 54x^(7/2).

4. **Соберем все вместе**: Теперь мы можем записать полную производную функции:

• f'(x) = 0 - 16x + 54x^(7/2).

Таким образом, окончательный ответ для производной функции f(x) будет: