Как найти производную функции F(x) = 2cos(x)/(x^2 + 4)?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции F(x) = 2cos(x)/(x^2 + 4) алгебра 11 класс нахождение производной правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции F(x) = 2cos(x)/(x^2 + 4), мы будем использовать правило дифференцирования дроби, которое называется правилом Лейбница. Это правило гласит, что если у вас есть функция в виде дроби u(x)/v(x), то ее производная определяется по формуле:

F'(x) = (u'v - uv') / v^2

Где:

• u(x) = 2cos(x)
• v(x) = x^2 + 4

Теперь нам нужно найти производные u'(x) и v'(x).

1. Находим u'(x):
• u(x) = 2cos(x)
• Производная от cos(x) равна -sin(x), поэтому:
• u'(x) = 2 * (-sin(x)) = -2sin(x)
2. Находим v'(x):
• v(x) = x^2 + 4
• Производная от x^2 равна 2x, а производная от константы 4 равна 0, поэтому:
• v'(x) = 2x + 0 = 2x

Теперь, подставим u, u', v и v' в формулу для производной:

F'(x) = (u'v - uv') / v^2

Подставляем значения:

F'(x) = ((-2sin(x))(x^2 + 4) - (2cos(x))(2x)) / (x^2 + 4)^2

Теперь упростим числитель:

F'(x) = (-2sin(x)(x^2 + 4) - 4xcos(x)) / (x^2 + 4)^2

Таким образом, производная функции F(x) = 2cos(x)/(x^2 + 4) равна:

F'(x) = (-2sin(x)(x^2 + 4) - 4xcos(x)) / (x^2 + 4)^2