Чтобы найти производную функции f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Производная функции в точке показывает, как быстро изменяется значение функции в этой точке. Мы можем найти производную, применяя несколько основных правил.

Для нахождения производной мы будем использовать следующие правила:

• Производная константы: Производная числа (константы) равна нулю.
• Производная степени: Если f(x) = x^n, то f'(x) = n * x^(n-1).
• Производная суммы: Производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. Для первого члена 7x^4:
   • n = 4, поэтому производная будет 4 * 7 * x^(4-1) = 28x^3.
2. Для второго члена -5x^3:
   • n = 3, поэтому производная будет 3 * (-5) * x^(3-1) = -15x^2.
3. Для третьего члена -x:
   • Это можно записать как -1 * x^1, тогда производная будет -1 * 1 * x^(1-1) = -1.
4. Для четвертого члена +25:
   • Это константа, поэтому производная равна 0.

Теперь мы можем сложить все найденные производные:

f'(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1 + 0.

Таким образом, производная функции f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25 будет:

f'(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1.

Итак, мы успешно нашли производную данной функции, следуя всем необходимым шагам и правилам дифференцирования.