Как найти производную функции f(x) = ln(ctg x)?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции производная ln(ctg x) алгебра 11 класс нахождение производной математический анализ

Привет! Давай разберемся, как найти производную функции f(x) = ln(ctg x). Это не так сложно, как кажется!

Сначала вспомним, что производная логарифмической функции ln(u) находится по формуле:

• f'(x) = (1/u) * u'

Где u — это наша внутренняя функция, в данном случае u = ctg x.

Теперь нам нужно найти производную ctg x. Производная cot(x) равна:

• u' = -csc^2(x)

Теперь подставим это в нашу формулу:

• f'(x) = (1/ctg x) * (-csc^2 x)

Таким образом, производная функции f(x) = ln(ctg x) будет:

• f'(x) = -csc^2(x) / ctg(x)

Вот и всё! Теперь ты знаешь, как найти производную этой функции. Если будут вопросы, не стесняйся спрашивать!

Чтобы найти производную функции f(x) = ln(ctg x), мы можем воспользоваться правилами дифференцирования, в частности, правилом производной сложной функции и производной логарифмической функции. Давайте разберем процесс по шагам.

1. Определим функцию:

   У нас есть функция f(x) = ln(ctg x). Здесь ctg x - это котангенс, который можно выразить через синус и косинус: ctg x = cos x / sin x.

2. Используем правило производной логарифмической функции:

   Если у нас есть функция вида ln(u), то её производная равна (1/u) * (du/dx), где u - это внутренняя функция. В нашем случае u = ctg x.

3. Найдем производную u = ctg x:

   Производная котангенса равна -csc²x. То есть:

   du/dx = -csc²x.

4. Теперь подставим в формулу производной логарифмической функции:

   f'(x) = (1/ctg x) * (-csc²x).

5. Упростим выражение:

   Мы знаем, что ctg x = cos x / sin x, и csc x = 1/sin x. Таким образом, мы можем переписать производную:

   f'(x) = -csc²x / ctg x = -csc²x * (sin x / cos x) = -sin x / (cos x * sin² x) = -1 / (cos x * sin x).

6. Запишем окончательный ответ:

   Таким образом, производная функции f(x) = ln(ctg x) равна:

   f'(x) = -1 / (cos x * sin x).

Эти шаги показывают, как мы пришли к производной функции ln(ctg x). Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!