Чтобы найти производную функции f(x) = (x^3 - 3x) / (1 + 4x^4), мы будем использовать правило деления производных. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде u/v, то ее производная вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Где u - числитель, v - знаменатель, u' - производная числителя, v' - производная знаменателя.

Теперь давайте определим u и v:

• u = x^3 - 3x
• v = 1 + 4x^4

Теперь найдем производные u и v:

1. Находим u':
   • Производная x^3 равна 3x^2.
   • Производная -3x равна -3.
   • Следовательно, u' = 3x^2 - 3.
2. Находим v':
   • Производная 1 равна 0.
   • Производная 4x^4 равна 16x^3.
   • Следовательно, v' = 0 + 16x^3 = 16x^3.

Теперь у нас есть все необходимые производные. Подставим их в формулу для производной функции:

f'(x) = (u'v - uv') / v^2

Подставим значения:

• u' = 3x^2 - 3
• v = 1 + 4x^4
• u = x^3 - 3x
• v' = 16x^3

Теперь подставим все это в формулу:

f'(x) = ((3x^2 - 3)(1 + 4x^4) - (x^3 - 3x)(16x^3)) / (1 + 4x^4)^2

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки:
   • (3x^2 - 3)(1 + 4x^4) = 3x^2 + 12x^6 - 3 - 12x^4.
2. Второй член:
   • (x^3 - 3x)(16x^3) = 16x^6 - 48x^4.

Теперь объединим все это в числителе:

Числитель = (3x^2 + 12x^6 - 3 - 12x^4) - (16x^6 - 48x^4)

Соберем подобные члены:

• 12x^6 - 16x^6 = -4x^6
• -12x^4 + 48x^4 = 36x^4
• 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)

Таким образом, числитель можно записать как:

-4x^6 + 36x^4 + 3(x^2 - 1)

Теперь окончательно получаем производную:

f'(x) = (-4x^6 + 36x^4 + 3(x^2 - 1)) / (1 + 4x^4)^2

Это и есть производная функции f(x). Если нужно, можно упростить числитель еще больше, но это уже зависит от конкретной задачи.