Чтобы найти производную функции Y = (x^2 - 1) / (x^2 + 1),мы будем использовать правило дифференцирования дроби, известное как правило частного. Это правило гласит, что если у нас есть функция вида u/v, где u и v - дифференцируемые функции, то производная этой функции вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

В нашем случае:

• u = x^2 - 1
• v = x^2 + 1

Теперь найдем производные u и v:

• u' = (x^2 - 1)' = 2x
• v' = (x^2 + 1)' = 2x

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной дроби:

Y' = (u'v - uv') / v^2

Подставим u, u', v и v':

Y' = (2x * (x^2 + 1) - (x^2 - 1) * 2x) / (x^2 + 1)^2

Теперь упростим числитель:

Y' = (2x * (x^2 + 1) - 2x * (x^2 - 1)) / (x^2 + 1)^2

Раскроем скобки:

Y' = (2x * x^2 + 2x - 2x * x^2 + 2x) / (x^2 + 1)^2

Теперь упростим:

Y' = (2x + 2x) / (x^2 + 1)^2

Y' = 4x / (x^2 + 1)^2

Таким образом, производная функции Y = (x^2 - 1) / (x^2 + 1) равна:

Y' = 4x / (x^2 + 1)^2