Давайте разберемся, как находить производные указанных функций. Мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, правило произведения, правило частного и правила для степени и корня.

1. Функция: x^3 + 1/x - 1

• Производная от x^3 равна 3x^2.
• Производная от 1/x (или x^(-1)) равна -1/x^2.
• Производная от -1 равна 0.

Ответ: 3x^2 - 1/x^2

2. Функция: -0.5x^{12}

• Производная от -0.5x^{12} равна -0.5 * 12x^{11} = -6x^{11}.

Ответ: -6x^{11}

3. Функция: 16√x - 4x^2

• 16√x можно записать как 16x^(1/2). Производная будет 16 * (1/2)x^(-1/2) = 8/x^(1/2).
• Производная от -4x^2 равна -8x.

Ответ: 8/x^(1/2) - 8x

4. Функция: 5/x + 2/(3√(x^2))

• 5/x можно записать как 5x^(-1). Производная будет -5x^(-2).
• 2/(3√(x^2)) можно упростить до 2/(3x). Производная будет -2/(3x^2).

Ответ: -5/x^2 - 2/(3x^2)

5. Функция: (x+4)x^2

• Здесь используем правило произведения: u = (x+4), v = x^2.
• Производная u' = 1, v' = 2x.
• По формуле: (u'v + uv') = (1)(x^2) + (x+4)(2x) = x^2 + 2x^2 + 8x = 3x^2 + 8x.

Ответ: 3x^2 + 8x

6. Функция: √(12x+4)(x^5+8)

• Обозначим u = √(12x + 4), v = x^5 + 8.
• Производная u' = (1/2)(12x + 4)^(-1/2) * 12 = 6/(√(12x + 4)).
• Производная v' = 5x^4.
• Используем правило произведения: u'v + uv' = (6/(√(12x + 4)))(x^5 + 8) + (√(12x + 4))(5x^4).

Ответ: (6(x^5 + 8))/(√(12x + 4)) + 5x^4√(12x + 4)

7. Функция: (2x+3)/(2-3x)

• Используем правило частного: u = 2x + 3, v = 2 - 3x.
• Производная u' = 2, v' = -3.
• По формуле: (u'v - uv')/v^2 = (2(2 - 3x) - (2x + 3)(-3))/(2 - 3x)^2.

Ответ: (4 - 6x + 6x + 9)/(2 - 3x)^2 = 13/(2 - 3x)^2

8. Функция: x^5/(3x+2)

• Используем правило частного: u = x^5, v = 3x + 2.
• Производная u' = 5x^4, v' = 3.
• По формуле: (u'v - uv')/v^2 = (5x^4(3x + 2) - x^5(3))/(3x + 2)^2.

Ответ: (15x^5 + 10x^4 - 3x^5)/(3x + 2)^2 = (12x^5 + 10x^4)/(3x + 2)^2

9. Функция: (x^3 - x)/(x^2 + 1)

• Используем правило частного: u = x^3 - x, v = x^2 + 1.
• Производная u' = 3x^2 - 1, v' = 2x.
• По формуле: (u'v - uv')/v^2 = ((3x^2 - 1)(x^2 + 1) - (x^3 - x)(2x))/(x^2 + 1)^2.

Ответ: (3x^4 + 3x^2 - x^2 - 1 - 2x^4 + 2x^2)/(x^2 + 1)^2 = (x^4 + 4x^2 - 1)/(x^2 + 1)^2

Таким образом, мы рассмотрели все функции и нашли их производные, используя основные правила дифференцирования. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь задавать их!