Чтобы найти производные заданных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило степеней, правило произведения и правило суммы.

1. Преобразуем функцию: 2/x можно записать как 2x^(-1).

2. Теперь у нас есть f(x) = 2x^(-1) + 4x².

3. Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

• Производная от 2x^(-1) равна -2x^(-2) (по правилу степени).
• Производная от 4x² равна 8x (по правилу степени).

4. Объединим результаты:

f'(x) = -2/x² + 8x.

1. Преобразуем дроби: 1/x² = x^(-2) и -6/x³ = -6x^(-3).

2. Теперь у нас есть f(x) = x^(-2) - 6x^(-3) + 5.

3. Применим правило дифференцирования:

• Производная от x^(-2) равна -2x^(-3).
• Производная от -6x^(-3) равна 18x^(-4).
• Производная от константы 5 равна 0.

4. Объединим результаты:

f'(x) = -2/x³ + 18/x⁴.

1. Здесь мы используем правило произведения. У нас три множителя: x³, (6x + 1) и (2x - 3).

2. Применим правило произведения:

f'(x) = u'v + uv', где u = x³, v = (6x + 1)(2x - 3).

3. Сначала найдем производную u:

• u' = 3x².

4. Теперь найдем v' (для этого сначала найдем v):

• v = (6x + 1)(2x - 3) = 12x² - 18x + 2x - 3 = 12x² - 16x - 3.
• Теперь найдем v': v' = 24x - 16.

5. Теперь подставим все в формулу:

f'(x) = 3x²(6x + 1)(2x - 3) + x³(24x - 16).

6. Упрощаем выражение, если необходимо.

Таким образом, мы нашли производные всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!