Как найти производные (их две) для следующих функций: а.) f(x) = x⁷-2x⁵+3x-3 и б.) f(x) = cos 5x? Заранее спасибо!

Алгебра 11 класс Производные функций производные функции алгебра x⁷-2x⁵+3x-3 cos 5x нахождение производных математика 11 класс Новый

Давайте разберем, как находить производные для данных функций шаг за шагом.

а.) Найдем первую и вторую производные функции f(x) = x⁷ - 2x⁵ + 3x - 3.

1. Первая производная: Для нахождения первой производной будем использовать правило дифференцирования для степенных функций. Производная функции вида x^n равна n*x^(n-1).
2. Применим это правило к каждому члену функции:
• Производная от x⁷: 7*x^(7-1) = 7x⁶
• Производная от -2x⁵: -2*5*x^(5-1) = -10x⁴
• Производная от 3x: 3
• Производная от -3: 0 (постоянная функция имеет производную 0)
3. Соберем все найденные производные вместе:
f'(x) = 7x⁶ - 10x⁴ + 3

2. Вторая производная: Теперь найдем производную от первой производной f'(x).
3. Опять применяем правило дифференцирования:
• Производная от 7x⁶: 7*6*x^(6-1) = 42x⁵
• Производная от -10x⁴: -10*4*x^(4-1) = -40x³
• Производная от 3: 0
4. Итак, вторая производная будет:
f''(x) = 42x⁵ - 40x³

б.) Теперь найдем первую и вторую производные функции f(x) = cos(5x).

1. Первая производная: Для нахождения производной тригонометрических функций используем правило: производная от cos(u) равна -sin(u) * u', где u - это функция, от которой берется производная.
2. В нашем случае u = 5x, тогда u' = 5. Применим правило:
f'(x) = -sin(5x) * 5 = -5sin(5x)

2. Вторая производная: Теперь найдем производную от первой производной f'(x).
3. Используем то же правило для производной от sin(u): производная от sin(u) равна cos(u) * u'. В нашем случае:
• Производная от -5sin(5x): -5 * cos(5x) * 5 = -25cos(5x)
4. Таким образом, вторая производная будет:
f''(x) = -25cos(5x)

Итак, мы нашли первые и вторые производные для обеих функций:

• Для f(x) = x⁷ - 2x⁵ + 3x - 3: f'(x) = 7x⁶ - 10x⁴ + 3 и f''(x) = 42x⁵ - 40x³.
• Для f(x) = cos(5x): f'(x) = -5sin(5x) и f''(x) = -25cos(5x).