Чтобы найти производные функций, нам нужно использовать правила дифференцирования. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция f(x) = tg(x) + √(2x - 1)

1. Для нахождения производной функции, мы будем использовать правило производной суммы и производные отдельных функций.
2. Первая часть функции - это tg(x). Производная от tg(x) равна sec²(x).
3. Вторая часть функции - это √(2x - 1). Для нахождения производной этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования корня.
• Сначала найдем производную от внутренней функции (2x - 1), которая равна 2.
• Теперь применим правило: производная √u = (1/(2√u)) * (du/dx), где u = 2x - 1.
• Таким образом, производная от √(2x - 1) будет равна (1/(2√(2x - 1))) * 2 = 1/√(2x - 1).
4. Теперь сложим полученные производные:
• f'(x) = sec²(x) + 1/√(2x - 1).

2. Функция f(x) = ctg(3x + 1) + 1/(8x + 9)⁵

1. Сначала найдем производную от первой части - ctg(3x + 1). Производная от ctg(u) равна -csc²(u) * (du/dx), где u = 3x + 1.
• Производная от 3x + 1 равна 3.
• Следовательно, производная от ctg(3x + 1) будет равна -csc²(3x + 1) * 3 = -3csc²(3x + 1).
2. Теперь найдем производную второй части функции - 1/(8x + 9)⁵. Мы применим правило производной степени и правило деления:
• Сначала запишем 1/(8x + 9)⁵ как (8x + 9)⁻⁵.
• Теперь применим правило производной: f'(x) = -5(8x + 9)⁻⁶ * (8) = -40(8x + 9)⁻⁶.
3. Теперь сложим обе производные:
• f'(x) = -3csc²(3x + 1) - 40(8x + 9)⁻⁶.

Итак, итоговые производные функций:

• f'(x) = sec²(x) + 1/√(2x - 1)
• f'(x) = -3csc²(3x + 1) - 40(8x + 9)⁻⁶