Как найти производные следующих функций?

1. y = tgx + lnx + x^4 / 4
2. y = 4a^x * корень из x^3
3. y = 2ctg(1/x)
4. y = корень из x / (x^2 + 1)

Алгебра 11 класс Производные функций производные функций алгебра 11 класс нахождение производных tgx lnx x^4 4a^x корень из x^3 2ctg(1/x) корень из x x^2 + 1 Новый

Для нахождения производных функций, давайте рассмотрим каждую из них по отдельности. Мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, произведения и частного, а также известные производные элементарных функций.

1. Функция: y = tg(x) + ln(x) + x^4 / 4
   • Производная от tg(x) равна sec^2(x).
   • Производная от ln(x) равна 1/x.
   • Производная от x^4 / 4 равна (4 * x^3) / 4 = x^3.
   • Теперь складываем все производные:
     • y' = sec^2(x) + 1/x + x^3.
2. Функция: y = 4a^x * корень из(x^3)
   • Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'.
   • Пусть u = 4a^x и v = (x^3)^(1/2) = x^(3/2).
   • Производная u: u' = 4a^x * ln(a).
   • Производная v: v' = (3/2)x^(1/2).
   • Теперь подставим в формулу:
     • y' = (4a^x * ln(a)) * x^(3/2) + 4a^x * (3/2)x^(1/2).
3. Функция: y = 2ctg(1/x)
   • Сначала найдем производную от ctg(u), где u = 1/x. Производная ctg(u) равна -csc^2(u) * u'.
   • Производная u = 1/x: u' = -1/x^2.
   • Теперь подставим:
     • y' = 2 * (-csc^2(1/x)) * (-1/x^2) = 2csc^2(1/x) / x^2.
4. Функция: y = корень из(x) / (x^2 + 1)
   • Используем правило частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
   • Пусть u = корень из(x) = x^(1/2) и v = x^2 + 1.
   • Производная u: u' = (1/2)x^(-1/2).
   • Производная v: v' = 2x.
   • Теперь подставим в формулу:
     • y' = [(1/2)x^(-1/2)(x^2 + 1) - x^(1/2)(2x)] / (x^2 + 1)^2.

Таким образом, мы нашли производные всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разбор конкретного шага, не стесняйтесь спрашивать!