Как найти решение для системы уравнений: { 4x - 4y + 3z = 16, 3x - y + 5z = 8, 2x - 7y + 3z = 18 }?

Алгебра 11 класс Системы линейных уравнений система уравнений решение системы алгебра 11 класс уравнения с несколькими переменными методы решения уравнений Новый

Для решения системы уравнений, состоящей из трех уравнений с тремя переменными, мы можем использовать метод подстановки или метод Гаусса. В данном случае мы рассмотрим метод Гаусса, который позволяет упростить систему до более простого вида.

Итак, у нас есть система уравнений:

• 1) 4x - 4y + 3z = 16
• 2) 3x - y + 5z = 8
• 3) 2x - 7y + 3z = 18

Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

• [ 4 -4 3 | 16 ]
• [ 3 -1 5 | 8 ]
• [ 2 -7 3 | 18 ]

Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого начнем с первого уравнения и будем исключать переменные из следующих уравнений.

Умножим первое уравнение на 1/4, чтобы сделать ведущий коэффициент равным 1:

• 1) x - y + (3/4)z = 4

Теперь вычтем 3 умноженное на первое уравнение из второго:

• 2) (3 - 3*1)x + (-1 + 3*1)y + (5 - 3*(3/4))z = 8 - 3*4
• 2) 0x + 2y + (5 - 9/4)z = -4
• 2) 2y + (20/4 - 9/4)z = -4
• 2) 2y + (11/4)z = -4

Теперь вычтем 2 умноженное на первое уравнение из третьего:

• 3) (2 - 2*1)x + (-7 + 2*1)y + (3 - 2*(3/4))z = 18 - 2*4
• 3) 0x - 5y + (3 - 3/2)z = 10
• 3) -5y + (3/2)z = 10

Теперь у нас есть новая система уравнений:

• 1) x - y + (3/4)z = 4
• 2) 2y + (11/4)z = -4
• 3) -5y + (3/2)z = 10

Шаг 3: Решим второе уравнение относительно y:

• 2y = -4 - (11/4)z
• y = -2 - (11/8)z

Теперь подставим это значение y в третье уравнение:

• -5(-2 - (11/8)z) + (3/2)z = 10
• 10 + (55/8)z + (3/2)z = 10
• (55/8 + 12/8)z = 0
• (67/8)z = 0
• z = 0

Шаг 4: Теперь подставим z = 0 в выражение для y:

• y = -2 - (11/8)*0 = -2

Шаг 5: Теперь подставим значения y и z в первое уравнение, чтобы найти x:

• x - (-2) + (3/4)*0 = 4
• x + 2 = 4
• x = 4 - 2 = 2

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений:

• x = 2
• y = -2
• z = 0

Ответ: (x, y, z) = (2, -2, 0)