Как найти решение уравнения 3×25^х - 14×5^х - 5 = 0?
Пожалуйста, дайте подробное объяснение решения.

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс 3×25^х - 14×5^х - 5 = 0 подробное объяснение нахождение корней уравнения Новый

Для решения уравнения 3×25^x - 14×5^x - 5 = 0, давайте сначала упростим выражение. Мы знаем, что 25 можно выразить как 5 в квадрате, то есть 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим 5^x как новую переменную, например, y. Тогда у нас будет:

• 25^x = y^2
• 5^x = y

Теперь подставим эти значения в уравнение:

3y^2 - 14y - 5 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение 3y^2 - 14y - 5 = 0. Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

• a = 3
• b = -14
• c = -5

Теперь подставим значения:

D = (-14)^2 - 4×3×(-5) = 196 + 60 = 256

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

y1 = (14 + √256) / (2×3) = (14 + 16) / 6 = 30 / 6 = 5

y2 = (14 - √256) / (2×3) = (14 - 16) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Шаг 3: Обратная замена

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 5
• y2 = -1/3

Теперь вернемся к нашей замене y = 5^x:

• Для y1 = 5: 5^x = 5. Это уравнение имеет решение x = 1.
• Для y2 = -1/3: 5^x = -1/3. Однако, 5^x всегда положительно для всех значений x, поэтому это уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 4: Итог

Таким образом, единственное решение уравнения 3×25^x - 14×5^x - 5 = 0:

x = 1