Как найти решение уравнения 5 cos^2 x + 6 sin x - 6 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 11 класс cos^2 x sin x уравнение 5 cos^2 x + 6 sin x - 6 = 0 Новый

Чтобы решить уравнение 5 cos² x + 6 sin x - 6 = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы знаем, что cos² x = 1 - sin² x. Подставим это в уравнение:

1. Заменим cos² x:

• 5(1 - sin² x) + 6 sin x - 6 = 0

2. Раскроем скобки:

• 5 - 5 sin² x + 6 sin x - 6 = 0

3. Упростим уравнение:

• -5 sin² x + 6 sin x - 1 = 0

4. Умножим все уравнение на -1 для удобства:

• 5 sin² x - 6 sin x + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим sin x = t. Тогда уравнение примет вид:

• 5t² - 6t + 1 = 0

5. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 5, b = -6, c = 1.

6. Подставим значения:

• D = (-6)² - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16.
• Теперь найдем корни:
• t₁ = (6 + √16) / (2 * 5) = (6 + 4) / 10 = 10 / 10 = 1.
• t₂ = (6 - √16) / (2 * 5) = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 0.2.

7. Теперь у нас есть два значения для sin x:

• sin x = 1
• sin x = 0.2

8. Рассмотрим первое значение sin x = 1. Это происходит, когда:

• x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

9. Теперь рассмотрим второе значение sin x = 0.2. Чтобы найти x, используем арксинус:

• x = arcsin(0.2) + 2kπ и x = π - arcsin(0.2) + 2kπ, где k - любое целое число.

10. Таким образом, все решения уравнения 5 cos² x + 6 sin x - 6 = 0 можно записать как:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = arcsin(0.2) + 2kπ,
• x = π - arcsin(0.2) + 2kπ, где k - любое целое число.

Это и есть все решения данного тригонометрического уравнения.