Как найти решение уравнения 7sin^2(3x) + 6sin(3x) - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения уравнение с синусом алгебра 11 класс синус квадрат методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 7sin^2(3x) + 6sin(3x) - 1 = 0, мы можем использовать замену переменной. Давайте обозначим:

• y = sin(3x)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y:

7y^2 + 6y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 7, b = 6, c = -1. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = 6² - 4 * 7 * (-1) = 36 + 28 = 64.
2. Теперь найдем корни уравнения:
• y1 = (-6 + √64) / (2 * 7) = (-6 + 8) / 14 = 2 / 14 = 1 / 7.
• y2 = (-6 - √64) / (2 * 7) = (-6 - 8) / 14 = -14 / 14 = -1.

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 1 / 7
• y2 = -1

Теперь вернемся к нашей замене y = sin(3x) и найдем соответствующие значения для x:

1. Для y1 = 1 / 7:
• sin(3x) = 1 / 7.
• 3x = arcsin(1 / 7) + 2kπ, где k - любое целое число.
• или 3x = π - arcsin(1 / 7) + 2kπ.
• Теперь делим на 3:
• x = arcsin(1 / 7) / 3 + (2kπ) / 3,
• x = (π - arcsin(1 / 7)) / 3 + (2kπ) / 3.
2. Для y2 = -1:
• sin(3x) = -1.
• 3x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Теперь делим на 3:
• x = π/2 + (2kπ) / 3.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения:

• x = arcsin(1 / 7) / 3 + (2kπ) / 3,
• x = (π - arcsin(1 / 7)) / 3 + (2kπ) / 3,
• x = π/2 + (2kπ) / 3.

Не забудьте, что k - любое целое число. Это завершает решение уравнения!