Как найти решение уравнения: х" + x' = 1, если заданы начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 1?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения уравнение решение начальные условия алгебра 11 класс х x' x(0) x'(0) Новый

Чтобы решить уравнение второго порядка x'' + x' = 1 с заданными начальными условиями x(0) = 0 и x'(0) = 1, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Начнем с того, что у нас есть уравнение второго порядка. Мы можем ввести новую переменную, чтобы упростить его. Пусть:

• y = x'

Тогда x'' = y', и наше уравнение можно переписать следующим образом:

y' + y = 1.

Шаг 2: Решение уравнения первого порядка

Теперь мы имеем уравнение первого порядка. Это линейное уравнение, которое можно решить методом интегрирования. Для этого найдем общее решение однородного уравнения:

y' + y = 0.

Решение этого уравнения имеет вид:

y_h = Ce^(-t),

где C - произвольная константа.

Теперь найдем частное решение для уравнения:

y' + y = 1.

Попробуем найти частное решение в виде постоянной. Пусть y_p = A, где A - константа. Подставим это в уравнение:

0 + A = 1,

откуда A = 1.

Шаг 3: Общее решение

Теперь мы можем записать общее решение нашего уравнения:

y(t) = y_h + y_p = Ce^(-t) + 1.

Шаг 4: Переход к x(t)

Теперь, чтобы найти x(t), нам нужно интегрировать y(t):

x(t) = ∫y(t) dt = ∫(Ce^(-t) + 1) dt.

Интегрируем:

• ∫Ce^(-t) dt = -Ce^(-t) + K1,
• ∫1 dt = t.

Таким образом, общее решение для x(t) будет:

x(t) = -Ce^(-t) + t + K1.

Шаг 5: Применение начальных условий

Теперь применим начальные условия для нахождения констант C и K1.

Первое начальное условие: x(0) = 0.

Подставим t = 0:

0 = -C + 0 + K1,

отсюда K1 = C.

Второе начальное условие: x'(0) = 1.

Найдем производную x(t):

x'(t) = Ce^(-t) + 1.

Подставим t = 0:

1 = C + 1,

откуда C = 0.

Шаг 6: Подстановка значений

Теперь, когда мы нашли C = 0, подставим это значение в формулу для x(t):

x(t) = -0 + t + 0 = t.

Ответ:

Таким образом, решение уравнения x'' + x' = 1 с начальными условиями x(0) = 0 и x'(0) = 1:

x(t) = t.