Чтобы решить уравнение lg sqrt(3x + 1) + lg sqrt(x + 4) = lg 12, следуем следующим шагам:

1. Используем свойство логарифмов, которое гласит, что lg a + lg b = lg (a * b). Применим это свойство к нашему уравнению:

   lg (sqrt(3x + 1) * sqrt(x + 4)) = lg 12.

2. Теперь мы можем избавиться от логарифмов, так как если lg a = lg b, то a = b, при условии, что a > 0 и b > 0. Таким образом, мы получаем:

   sqrt(3x + 1) * sqrt(x + 4) = 12.

3. Упрощаем левую часть уравнения:

   sqrt((3x + 1)(x + 4)) = 12.

4. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   (3x + 1)(x + 4) = 144.

5. Раскроем скобки:

   3x^2 + 12x + x + 4 = 144.

   Упрощаем это:

   3x^2 + 13x + 4 = 144.

6. Переносим 144 на левую сторону уравнения:

   3x^2 + 13x + 4 - 144 = 0.

   Получаем:

   3x^2 + 13x - 140 = 0.

7. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 13, c = -140.

   Вычисляем дискриминант:

   D = 13^2 - 4 * 3 * (-140) = 169 + 1680 = 1849.

8. Теперь находим корни уравнения:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).

   x1 = (-13 + sqrt(1849)) / (2 * 3) = (-13 + 43) / 6 = 30 / 6 = 5.

   x2 = (-13 - sqrt(1849)) / (2 * 3) = (-13 - 43) / 6 = -56 / 6 = -28/3.

9. Теперь у нас есть два корня: x1 = 5 и x2 = -28/3. Но нужно проверить, подходят ли они под условия логарифмов:

   • Для x1 = 5:

   3x + 1 = 3*5 + 1 = 16 > 0 и x + 4 = 5 + 4 = 9 > 0.

   • Для x2 = -28/3:

   3x + 1 = 3*(-28/3) + 1 = -28 + 1 = -27 < 0 (не подходит).

10. Таким образом, единственным решением уравнения является:

    x = 5.