Как найти решение уравнения lg(x+2) + lg(x-2) = lg(5x+10)?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс логарифмы lg(x+2) lg(x-2) lg(5x+10) свойства логарифмов уравнения с логарифмами Новый

Чтобы решить уравнение lg(x+2) + lg(x-2) = lg(5x+10), сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Это позволит нам упростить уравнение.

1. Применим свойство логарифмов:

lg(x+2) + lg(x-2) = lg((x+2)(x-2)) = lg(x^2 - 4).

2. Теперь уравнение можно записать так:

lg(x^2 - 4) = lg(5x + 10).

3. Поскольку логарифмы равны, то их аргументы также равны (при условии, что они положительные):

x^2 - 4 = 5x + 10.

4. Переносим все слагаемые в одну сторону:

x^2 - 5x - 14 = 0.

5. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81.

6. Теперь находим корни уравнения по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

x = (5 ± √81) / 2 = (5 ± 9) / 2.

7. Находим два корня:
• x1 = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7,
• x2 = (5 - 9) / 2 = -4 / 2 = -2.
8. Теперь проверим, подходят ли найденные корни под условия логарифмов. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
• Для x = 7: x + 2 = 9 > 0 и x - 2 = 5 > 0, значит, это решение подходит.
• Для x = -2: x + 2 = 0 и x - 2 = -4 < 0, значит, это решение не подходит.

Таким образом, единственное решение уравнения lg(x+2) + lg(x-2) = lg(5x+10) - это x = 7.