Как найти решение уравнения log x^2 по основанию 4 + log(x-5) по основанию 2 = 2?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс log x^2 основание 4 log(x-5) основание 2 математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения log₄(x²) + log₂(x - 5) = 2 нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Приведем логарифмы к одному основанию. Мы можем преобразовать логарифм по основанию 4 в логарифм по основанию 2, используя формулу: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). В нашем случае:
• log₄(x²) = log₂(x²) / log₂(4) = log₂(x²) / 2.
2. Подставим это в уравнение. Теперь у нас есть:
• log₂(x²) / 2 + log₂(x - 5) = 2.
3. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:
• log₂(x²) + 2 * log₂(x - 5) = 4.
4. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что k * log_a(b) = log_a(b^k). Применим это к нашему уравнению:
• log₂(x²) + log₂((x - 5)²) = 4.
5. Сложим логарифмы: Используем свойство логарифмов, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc):
• log₂(x² * (x - 5)²) = 4.
6. Перейдем к экспоненте: Если log₂(A) = 4, то A = 2⁴ = 16. Таким образом:
• x² * (x - 5)² = 16.
7. Решим это уравнение:
• Раскроем скобки: x² * (x² - 10x + 25) = 16.
• Получим: x⁴ - 10x³ + 25x² - 16 = 0.
8. Решим это многочленное уравнение. Это может потребовать использования методов, таких как деление на множители или численные методы.

После нахождения корней уравнения, необходимо проверить, удовлетворяют ли они условиям логарифмов, то есть x должно быть больше 5 (так как в логарифме log₂(x - 5) требуется, чтобы x - 5 > 0).

Таким образом, мы можем найти все допустимые решения уравнения и выбрать только те, которые удовлетворяют условиям логарифмов.