Как найти решение уравнения log0.3(x²-4x-5)=log0.3(7-3x)?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс нахождение корней метод логарифмов Новый

Чтобы решить уравнение log_0.3(x² - 4x - 5) = log_0.3(7 - 3x), мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что если log_a(A) = log_a(B), то A = B, при условии что A > 0 и B > 0.

Следовательно, мы можем приравнять аргументы логарифмов:

1. x² - 4x - 5 = 7 - 3x

Теперь упростим это уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

1. x² - 4x - 5 - 7 + 3x = 0
2. x² - x - 12 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

1. x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -1, c = -12. Подставим эти значения в формулу:

1. x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-12))) / (2 * 1)
2. x = (1 ± √(1 + 48)) / 2
3. x = (1 ± √49) / 2
4. x = (1 ± 7) / 2

Теперь находим два возможных значения для x:

1. x₁ = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4
2. x₂ = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь у нас есть два кандидата: x₁ = 4 и x₂ = -3. Однако, нам нужно проверить, удовлетворяют ли они условиям логарифма, т.е. x² - 4x - 5 > 0 и 7 - 3x > 0.

Проверим первое значение:

1. Для x₁ = 4:
• x² - 4x - 5 = 4² - 4*4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (не подходит)

Теперь проверим второе значение:

1. Для x₂ = -3:
• x² - 4x - 5 = (-3)² - 4*(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (подходит)
• 7 - 3*(-3) = 7 + 9 = 16 > 0 (подходит)

Таким образом, единственное решение уравнения log_0.3(x² - 4x - 5) = log_0.3(7 - 3x) - это x = -3.