Как найти решение уравнения log2(3x-4)=log4(2-x)?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс log2 log4 нахождение x свойства логарифмов Новый

Чтобы решить уравнение log2(3x-4) = log4(2-x), нам нужно сначала привести обе стороны уравнения к одному основанию. В данном случае мы можем использовать основание 2, поскольку это основание присутствует на левой стороне уравнения.

Помним, что логарифм с основанием 4 можно выразить через логарифм с основанием 2. Используем формулу:

log4(a) = log2(a) / log2(4)

Так как log2(4) = 2, мы можем записать:

log4(2-x) = log2(2-x) / 2

Теперь подставим это в наше уравнение:

log2(3x-4) = log2(2-x) / 2

Чтобы избавиться от деления, умножим обе стороны уравнения на 2:

2 * log2(3x-4) = log2(2-x)

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что k * log(a) = log(a^k). Применим это свойство:

log2((3x-4)^2) = log2(2-x)

Теперь, когда у нас одинаковые логарифмы, можем приравнять их аргументы:

(3x-4)^2 = 2-x

Теперь раскроем левую часть уравнения:

(3x-4)(3x-4) = 9x^2 - 24x + 16

Таким образом, уравнение принимает вид:

9x^2 - 24x + 16 = 2 - x

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

9x^2 - 24x + x + 16 - 2 = 0

Упрощаем уравнение:

9x^2 - 23x + 14 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 9, b = -23, c = 14. Подставляем значения:

D = b² - 4ac = (-23)² - 4 * 9 * 14

D = 529 - 504 = 25

Теперь находим корни:

x = (23 ± √25) / (2 * 9)

x = (23 ± 5) / 18

Теперь у нас два возможных значения для x:

1. x1 = (23 + 5) / 18 = 28 / 18 = 14 / 9
2. x2 = (23 - 5) / 18 = 18 / 18 = 1

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям, при которых логарифмы определены:

• Для x1 = 14/9: 3(14/9) - 4 > 0 и 2 - (14/9) > 0. Проверяем:
• 3(14/9) = 42/9, 42/9 - 4 = 42/9 - 36/9 = 6/9 > 0. Условие выполняется.
• 2 - (14/9) = 18/9 - 14/9 = 4/9 > 0. Условие выполняется.

• Для x2 = 1: 3(1) - 4 > 0 и 2 - 1 > 0. Проверяем:
• 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1, условие не выполняется.
• 2 - 1 = 1 > 0, это условие выполняется.

Таким образом, единственным подходящим решением уравнения является x = 14/9.